Đối với một biến ngẫu nhiên nếu đã xác định được quy luật phân phối của nó thì xem như ta đã nắm được toàn bộ thông tin về biến ngẫu nhiên đó. Tuy nhiên trong thực tế ta không thể nắm bắt được từng giá trị riêng của biến ngẫu nhiên. Một yêu cầu rất tự nhiên được đặt ra là phải cógiá trị đại diện phản ánh từng phần của biến ngẫu nhiên.

Ta có thể phân loại các tham số đặc trưng như sau:

- Các tham số đặc trưng cho xu hướng trung tâm của biến ngẫu nhiên: kỳ vọng toán (expected value), trung vị (median), mốt (mode),...

- Các tham số đặc trưng cho độ phân tán của biến ngẫu nhiên: phương sai, độ lệch chuẩn, hệ số biến thiên, giá trị tới hạn, mômen (moment)...

- Các tham số đặc trưng cho dạng phân phối xác suất; hệ số bất đối xứng (skewness), hệ số nhọn (kurtosis),...

Kì vọng toán

Tham khảo bài chính Kì vọng toán

1. Định nghĩa

- Biến ngẫu nhiên rời rạc: Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có x 1 , x 2 , . . . , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}} với xác suất tương ứng p 1 , p 2 , . . . , p n {\displaystyle p_{1},p_{2},...,p_{n}} . Kì vọng toán của biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu E(X) là tổng các tích giữa các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên với các xác suất tương ứng:

E ( X ) = ∑ i = 1 n x i p i {\displaystyle E(X)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}}

- Biến ngẫu nhiên liên tục: Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục vớihàm mật độ xác suất f(x) thì kì vọng toán E(X) được xác định bằng biểu thức:

E ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x {\displaystyle E(X)=\int _{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx}

2. Các tính chất của kỳ vọng toán

- Tính chất 1: E(C) = C; C = const

- Tính chất 2: E(CX) = C.E(X); C = const

- Tính chất 3: Với X và Y là 2 biến ngẫu nhiên bất kỳ thì:

E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) {\displaystyle E(X+Y)=E(X)+E(Y)}

- Tính chất 4: Với X và Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập thì:

E ( X . Y ) = E ( X ) . E ( Y ) {\displaystyle E(X.Y)=E(X).E(Y)}

3. Bản chất và ý nghĩa của kì vọng toán

- Bản chất: Kì vọng toán là trung bình theo nghĩa xác suất của biến ngẫu nhiên.

- Ý nghĩa: kì vọng toán phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên.

4. Ứng dụng thực tế của kì vọng toán

Trong kinh doanh và quản lý kinh tế, kì vọng toán được xem như là một tiêu chuẩn đề ra quyết định trong tình huống cần lựa chọn nhiều chiến lược kinh doanh khác nhau. tiêu chuẩn này thường được gọi là lợi nhuận kì vọng hay doanh số kì vọng.

Phương sai

Tham khảo bài chính Phương sai

1. Định nghĩa

Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu V(X), là kỳ vọng toán của bình phương sai lệnh của biến ngẫu nhiên so với kì vọng toán của nó.

V ( X ) = E [ X − E ( X ) ] 2 {\displaystyle V(X)=E[X-E(X)]^{2}}

Ta có thể biến đổi như sau:

V ( X ) = E [ X − E ( X ) ] 2 = E [ X 2 − 2 X . E ( X ) + ( E ( X ) ) 2 ] = E ( X 2 ) − E ( 2 X . E ( X ) ) + E ( E ( X ) ) 2 = E ( X 2 ) − 2 E ( X ) . E ( X ) + E ( E ( X ) ) 2 = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 {\displaystyle V(X)=E[X-E(X)]^{2}=E[X^{2}-2X.E(X)+(E(X))^{2}]=E(X^{2})-E(2X.E(X))+E(E(X))^{2}=E(X^{2})-2E(X).E(X)+E(E(X))^{2}=E(X^{2})-[E(X)]^{2}}

+ Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc:

V ( X ) = ∑ i = 1 n x i 2 p i − [ E ( X ) ] 2 {\displaystyle V(X)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}p_{i}-[E(X)]^{2}}

+ Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục:

V ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x 2 f ( x ) d x − [ E ( X ) ] 2 {\displaystyle V(X)=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)dx-[E(X)]^{2}}

2. Các tính chất của phương sai

- Tính chất 1: V(C) = 0; C = const

- Tính chất 2: V ( C X ) = C 2 V ( X ) {\displaystyle V(CX)=C^{2}V(X)} , C = const

- Tính chất 3: Với X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì

V ( X + Y ) = V ( X ) + V ( Y ) {\displaystyle V(X+Y)=V(X)+V(Y)} V ( X − Y ) = V ( X ) − V ( Y ) {\displaystyle V(X-Y)=V(X)-V(Y)}

3. Bản chất và ý nghĩa của phương sai

- Bản chất: Phương sai là trung bình số học của bình phương các sai lệnh giữa các giá trị quan sát của biến ngẫu nhiên so với giá trị quan sát của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình của các giá trị đó.

- Ý nghĩa: Phương sai phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung tâm là kỳ vọng toán. Phương sai càng nhỏ thì các giá trị càng tập trung ở gần giá trị trung tâm.

4. Ứng dụng thực tế của phương sai

+ Trong kỹ thuật: Phương sai đặc trưng cho sai số của thiết bị, chi tiết gia công so với kích thước tiêu chuẩn

+ Trong lĩnh vực kinh tế: Phương sai đặc trưng cho mức độ rủi ro của các quyết định.

Mômen

Phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên thường được đặc trưng bởi một số các tham số, các tham số này cũng có một cách hiểu thực dụng. Ví dụ, trong nhiều trường hợp, biết "giá trị trung bình" của biến ngẫu nhiên là đủ. Giá trị này được thể hiện bởi khái niệm toán học giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên, được ký hiệu là E[X]. Lưu ý rằng, nói chung, E[f(X)] khác với f(E[X]). Một khi đã biết được "giá trị trung bình", người ta có thể đặt câu hỏi cái giá trị trung bình này cách bao xa đối với các giá trị điển hình của X, câu hỏi này được trả lời bởi các khái niệm phương sai và độ lệch tiêu chuẩn của một biến ngẫu nhiên.

Trong toán học, bài toán (mở rộng) về các mômen (generalised problem of moments) được phát biểu như sau: cho trước một lớp gồm các biến ngẫu nhiên X, tìm một tập hợp {fi} gồm các hàm sao cho các giá trị kỳ vọng E[fi(X)] đặc trưng đầy đủ cho phân bố của biến ngẫu nhiên X.